M02.06 · 고윳값·안정성·오차 전파의 직관

행렬을 곱해도 같은 선 위에 남는 방향

정방행렬 A와0이 아닌 벡터 v에 대해 $Av=\lambda v$가 성립하면 v를 고유벡터,λ를 고윳값이라고 한다. 이 방향의 벡터는 A를 곱해도 λ배로만 바뀐다. λ가 음수면 부호 방향이 뒤집힐 수 있다.0벡터를 고유벡터에서 제외하는 것은 어떤 λ에도 식이 성립해 방향 정보를 주지 못하기 때문이다. NumPy eig 문서는 행렬과 오른쪽 고유벡터의 이 관계를 다룬다.

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그림 M02.06-1. A=diag(0.5,−0.2), e0=(2,5)인 본문 모델의 k=0~4를 그렸다. 음의 고윳값 성분은 부호가 바뀌면서도 크기는 줄어든다. 연속시간의 안정성 판정과 혼용하지 않는다. 직접 제작.

예를 들어 A=diag(0.5,−0.2),즉 대각선이0.5와−0.2이고 나머지가0인 행렬을 보자. v1=(1,0)에는0.5배,v2=(0,1)에는−0.2배가 적용되어 이 두 방향이 고유벡터다. 이산 오차 모형 $e_{k+1}=Ae_k$에서 e0=(2,5)이면 e1=(1,−1),e2=(0.5,0.2)다. k는 갱신 단계, e는 목표에서 벗어난 오차 벡터다. 둘째 성분은 부호를 번갈아 바꾸지만 크기가 줄어든다.

이 예제는 외부 입력·잡음이 없고 A가 시간에 따라 바뀌지 않는 선형 모형이다. 실제로 외란이 계속 들어오면 초기 오차가 줄어드는 성질만으로 모든 오차가0이 된다고 할 수 없다. 또한 일반 행렬의 점근 수렴이 모든 성분의 매 단계 단조 감소를 의미하는 것도 아니다. 지금은 단순 대각 행렬로 방향별 변화를 분리해 보는 것이다.

연속과 이산에서 같은 부호 규칙을 쓰지 않기

여기서 주로 확인할 것은 시간이 지날수록 초기 오차가0으로 가는 점근 안정성이다. 오차가 유한 범위에 머무르는 것과0으로 줄어드는 것은 다르다. 연속 스칼라 모형 $de/dt=ae$는 매 순간의 변화율을 정한다. 해는 $e(t)=e(0)\exp(at)$이고 a의 단위는1/s다. a<0이면 지수적으로0에 가고,a>0이면 초기 오차가 커진다. Modern Robotics의 일차 오차 동역학은 이런 감쇠를 설명한다.

이산 스칼라 모형 $e_{k+1}=ae_k$는 다음 값을 직접 정한다. 여기서 a는 단위 없는 배율이고 k단계 뒤에는 $a^ke_0$다. 점근적으로0에 가려면 |a|<1이어야 한다. 예를 들어−2는 연속 변화율 계수로는 음수라 감쇠하지만, 이산 배율로는−2,4,−8처럼 크기가 커진다. 수치의 부호가 같다고 두 모형을 같은 판정식에 넣으면 안 된다.

유한 차원의 무입력·시간 불변 선형 벡터 모형에서도 연속 $de/dt=Ae$는 모든 고윳값의 실수부가 음수일 때, 이산 $e_{k+1}=Ae_k$는 모든 고윳값의 크기가1보다 작을 때 점근 안정이다. 복소수 λ=a+bi에서 i²=−1,실수부 Reλ=a,크기 |λ|=√(a²+b²)다. 이 단위의 수치 예제는 실수 대각/스칼라만 계산하지만, 복소 고윳값을 만나면 음수 부호만 찾는 대신 해당 기준을 사용해야 한다.

경계와 샘플 간격을 숨기지 않기

이산 배율1이면 초기 오차가 그대로 남고−1이면 부호만 번갈아 바뀐다. 둘 다0으로 가지 않으므로 점근 안정이라고 할 수 없다. 경계의 고윳값만으로 일반적인 유계성까지 성급하게 판정하지도 않는다. 예를 들어 A=[[1,1],[0,1]]은 고윳값이 둘 다1인데,e0=(0,1)에서(1,1),(2,1)…로 커진다. 행렬 성분의 결합을 추가로 봐야 한다.

연속 모형을 이산 계산으로 바꾸는 방법에도 주의한다. $de/dt=-2e$를 앞쪽 Euler 근사로 간격 h초마다 계산하면 $e_{k+1}=(1-2h)e_k$다. h=0.1이면 배율0.8,h=1.2이면−1.4다. 원래 연속 모형은 감쇠해도 이 근사식의 큰 간격은 발산할 수 있다. 이 숫자는 실제 제어 주기 권고가 아니라 모형과 근사의 차이를 보는 예다.

비선형 시스템에서 한 평형점의 Jacobian을 분석하는 경우에는 그 점 근처의 가정·미분 가능성·허용 범위를 확인해야 한다. 여기서 선형 모형에 내린 판정을 비선형 전 영역·포화·접촉·지연·안전으로 확장하지 않는다. 관측된 몇 번의 감소 역시 장기 수렴의 증명과 다르다.

입력의 퍼짐이 출력으로 어떻게 옮겨지는가

확률변수 X의 평균이1m,표준편차가0.1m이고 출력이 $Y=2X+3$ m라고 하자. 계수2는 단위 없고 상수3의 단위는m다. 평균은5m,입력 분산은0.01m²,출력 분산은2²×0.01=0.04m²이므로 출력 표준편차는0.2m다. 상수 이동3은 평균을 바꾸지만 퍼짐은 바꾸지 않는다.

벡터의 선형 관계 y=Jx+b에서는 유한한 입력 공분산에 대해 $\Sigma_y=J\Sigma_xJ^T$가 정확하다. Gaussian일 필요는 없다. J는 출력/입력 단위에 맞는 행렬,b는 상수다. 비선형 y=f(x)의 경우 평균 주변에서 $f(x)\approx f(\mu)+J(\mu)(x-\mu)$로 놓고 같은 식을 일차 근사로 쓴다. 곡률이 크거나 오차 범위가 넓으면 고차 항과 편향을 놓칠 수 있다. 모델 자체의 미지 오류가 입력 공분산에 자동으로 포함되는 것도 아니다.

두 길이 X,Y의 합 Z=X+Y에 대해서는 $\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$다. 분산이0.01과0.04m²,공분산이0.01m²이면 합의 분산은0.07m²다. 상관을 무시하면0.05m²가 되어 작게 평가한다. 독립이면 유한 분산 아래 교차 공분산이0이지만, 독립을 확인하지 않은 채 자동으로 지우지 않는다. NIST의 오차 전파 안내도 공분산과 근사 모형의 조건을 강조한다. 표준편차를 그냥 더하는 것과 분산·교차항을 계산한 뒤 제곱근을 취하는 것은 다르다.

1. A=diag(0.5,−0.2)의 두 축에 대해 Av=λv를 확인하고 e0=(2,5)의 다음 두 상태를 계산한다.0벡터를 고유방향으로 쓰지 않는 이유도 적는다.
2. 연속 a=−2/s와 이산 배율a=−2를 점근 안정 관점에서 비교한다. Euler 간격0.1초와1.2초의 배율,이산 경계1과−1의 한계도 설명한다.
3. X평균1m·σ0.1m에서 Y=2X+3의 평균·분산·표준편차를 구한다. 두 길이 합의 분산0.01/0.04m²·공분산0.01m² 사례를 계산하고,비선형 Jacobian 전파에서 별도로 확인할 가정을 적는다.

판정은 고유방향·모형별 수렴·오차 전파의 세 요소다. 막히면 연속식의 왼쪽이 변화율인지,이산식의 왼쪽이 다음 값인지 먼저 표시한다. covariance 행렬의 대각 원소는 σ가 아니라σ²임을 다시 확인한다.